实变函数论教程

1章 集合与Rn中点集 1

.1 集合及其基数 1

.2 Rn中点集及其拓扑性质 11

.3 Rn中点集上的连续函数 19

.4 注记 25

2章 Lebesgue测度 26

.1 外测度 26

.2 可测集及其性质 32

.3 可测集的构造 38

.4 不可测集 43

.5 注记 44

3章 Lebesgue可测函数 45

.1 可测函数及其对运算的封闭性 46

.2 可测函数的构造 51

.2.1 几类常见函数的可测性 51

.2.2 可测函数是简单函数的极限 52

.2.3 可测函数是连续函数的极限 54

.3 可测函数列的收敛性 57

.3.1 几乎处处收敛与一致收敛的条件 57

.3.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系 59

.3.3 几乎处处收敛与依测度收敛的关系 60

.4 注记 63

4章 Lebesgue积分 64

.1 非负简单函数的积分 64

.2 非负可测函数的积分 66

.3 一般可测函数的积分 73

.4 积分的极限定理 77

.5 积分的变量替换 84

.6 重积分与累次积分 88

.7 Lebesgue积分与Riemann积分的关系 94

.8 注记 101

5章 微分定理与Newton-Leibniz公式 102

.1 Lebesgue微分定理 102

.2 单调函数的可微性 109

.3 有界变差函数及其导数的可积性 114

.4 绝对连续函数与Newton-Leibniz公式 117

.5 注记 124

6章 Lp空间 126

.1 Lp空间的定义 126

.1.1 1≤p≤∞的情形 126

.1.2 p＝2的情形 131

.2 Lp空间中一些重要事实 133

.2.1 Lp空间对指数p的相依性 134

.2.2 Lp（Rn）中的逼近定理 138

.2.3 卷积与恒等逼近 140

.3 注记 144

7章 测度论简介 146

.1 可测空间与测度 146

.2 可测函数 149

.3 抽象积分 150

.4 测度的构造与完备化 153

.5 符号测度及其表示 155

.6 注记 156

考文献 158

引 159